۷- فاصله‌ی مریخ از زمین $۹/۱۷ \times ۱۰^۷$ کیلومتر و فاصله‌ی کیوان از زمین $۶/۲۸۷ \times ۱۰^۸$ کیلومتر است. با مقایسه‌ی این دو عدد مشخص کنید کدام سیاره به زمین نزدیک‌تر است؟
پاسخ تشریحی:
برای مقایسه‌ی دو عدد در نماد علمی، ابتدا **توان عدد ۱۰** را مقایسه می‌کنیم. هر عددی که توان ۱۰ کوچکتری داشته باشد، مقدارش کمتر است.
* **فاصله‌ی مریخ:** $ ۹.۱۷ \times ۱۰^۷ $ کیلومتر (توان ۷)
* **فاصله‌ی کیوان (زحل):** $ ۶.۲۸۷ \times ۱۰^۸ $ کیلومتر (توان ۸)
چون توان فاصله‌ی مریخ ($۷$) از توان فاصله‌ی کیوان ($۸$) کوچکتر است، پس فاصله‌ی مریخ از زمین کمتر است.
**نتیجه:** **مریخ** به زمین نزدیک‌تر است.
۸- در جاهای خالی حداقل ۳ عدد صحیح مختلف قرار دهید تا نامساوی درست باشد.
پاسخ تشریحی:
* **$ ۰.۰۳ \times ۱۰^{\bigcirc} > ۰.۰۲ $**
۱. طرفین را بر $۰.۰۳$ تقسیم می‌کنیم: $ ۱۰^{\bigcirc} > \frac{۰.۰۲}{۰.۰۳} = \frac{۲}{۳} $
۲. باید توان‌هایی از ۱۰ را پیدا کنیم که از $ \frac{۲}{۳} $ (حدود ۰.۶۷) بزرگتر باشند.
۳. $۱۰^۰=۱$, $۱۰^۱=۱۰$, $۱۰^۲=۱۰۰$. همگی بزرگتر از $ \frac{۲}{۳} $ هستند.
**پاسخ:** اعداد صحیح **۰, ۱, ۲** (و هر عدد صحیح بزرگتر از صفر).
* **$ ۲.۷ \times ۱۰^{\bigcirc} > ۰.۰۲ $**
۱. طرفین را بر $۲.۷$ تقسیم می‌کنیم: $ ۱۰^{\bigcirc} > \frac{۰.۰۲}{۲.۷} = \frac{۲}{۲۷۰} = \frac{۱}{۱۳۵} $
۲. باید توان‌هایی از ۱۰ را پیدا کنیم که از $ \frac{۱}{۱۳۵} $ (حدود ۰.۰۰۷۴) بزرگتر باشند.
۳. $۱۰^۰=۱$, $۱۰^{-۱}=۰.۱$, $۱۰^{-۲}=۰.۰۱$. همگی بزرگتر از $ \frac{۱}{۱۳۵} $ هستند. (اما $۱۰^{-۳}=۰.۰۰۱$ کوچکتر است).
**پاسخ:** اعداد صحیح **-۲, -۱, ۰** (و هر عدد صحیح بزرگتر از ۲-).
۹- عددهای زیر را از کوچک به بزرگ مرتب کنید:
$ ۱/۵ \times ۱۰^{-۲} $, $ ۱/۲ \times ۱۰^۶ $, $ ۵/۳۵ \times ۱۰^{-۳} $, $ ۳/۷ \times ۱۰^{-۲} $
پاسخ تشریحی:
برای مرتب کردن اعداد در نماد علمی، از روش زیر استفاده می‌کنیم:
۱. ابتدا اعداد را بر اساس **توان ۱۰** مرتب می‌کنیم. توان کوچکتر، عدد کوچکتر را نشان می‌دهد.
۲. اگر توان‌ها برابر بودند، **ضرایب** آنها را مقایسه می‌کنیم.
اعداد داده شده:
* A) $ ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} $ (توان: -۲)
* B) $ ۱.۲ \times ۱۰^۶ $ (توان: ۶)
* C) $ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} $ (توان: -۳)
* D) $ ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} $ (توان: -۲)
**مرتب‌سازی:**
* کوچکترین توان، $ -۳ $ است. پس کوچکترین عدد $ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} $ می‌باشد.
* بعد از آن، دو عدد با توان $ -۲ $ داریم. باید ضرایب آنها را مقایسه کنیم: $ ۱.۵ < ۳.۷ $. پس $ ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} $ کوچکتر از $ ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} $ است.
* بزرگترین توان، $ ۶ $ است. پس بزرگترین عدد $ ۱.۲ \times ۱۰^۶ $ می‌باشد.
**ترتیب نهایی از کوچک به بزرگ:**
$ ۵.۳۵ \times ۱۰^{-۳} < ۱.۵ \times ۱۰^{-۲} < ۳.۷ \times ۱۰^{-۲} < ۱.۲ \times ۱۰^۶ $
